計量培訓：測量不確定度表述講座
國家質量技術監督局　李慎安

　　3.1  實驗方差s²(q_k)是方差σ²的無偏估計的含義為何？標準偏差s是否也是總體標準差σ的無偏估計？
　　在用貝塞爾公式
　　計算任一次測量結果q_k的實驗標準偏差s(q_k)時，未開方前以及用本講座2.12問題中給出的式子計算時，未開方前，均稱為實驗方差s²(q_k)。σ稱為總體標準偏差，σ²則稱為總體方差或簡稱方差，在計量學中，特別是測量不確定度評定中，總體是指被測量Y在重復性條件下或復現性條件下無限多次的測量結果。根據這無限多次測量結果計算出的標準偏差就是σ。由于實驗中，重復的次數n總是有限的，計算出的實驗方差s²只是σ²的一個估計值。n越大，這個估計值越可靠。所謂無偏估計，可以簡單地理解為:s²比σ²大的概率與s²比σ²小的概率相等，即均為50%。而且當次數n越大時，差值(s²-σ²)的總和越趨近為零，當n為無窮大時，s²-σ²就等于零。當s²是σ²的無偏估計時，s就不是σ的無偏估計而是有偏的了，s是σ的偏小估計，即s-σ是負值的概率大于s-σ是正值的概率。在測量不確定度評定中，可以不去考慮這種偏小，因為隨n的增大它們會趨于相等。

　　3.2  為什么在按貝塞爾公式計算的實驗標準偏差時，次數n應充分大(開方后為什么只取正值)復現性條件下的重復測量結果可否采用貝塞爾公式計算一次測量結果的實驗標準偏差？
　　次數n越大，計算出來的實驗標準偏差s(q_k)越可靠。一般文獻均提出應充分大，當然是越大越好，盡可能多地重復測量。不過一般來說，次數n≥30就認為充分了。因為n等于40或50雖比n=30好一點，但好不了多少。當我們研究測量儀器的特性，特別是其示值分布的情況時，則是另一種目的，次數n往往要超過100甚至200。
　　數字中的平方根，總是帶有正負號的，例如=±10。但是，在標準差的計算中，開方后的值只取正值，原因在于標準差表示的是分散性，而分散性所給出的是一個區間或理解為一個范圍。作為物理量的區間的大小，用負值是沒有意義的。這也就是測量不確定度只有正值而不存在負值的原因。
　　復現性條件下的重復測量結果之間，也存在分散性，這種條件下的任一次測量結果的實驗標準偏差，也無例外地可以用3.1或2.12中給出的式子進行計算。復現性條件似乎不是等精度測量所要求的條件，但是，所謂等精度是個定性的概念，重復性條件下的測量結果有大有小，它們的測量誤差也各不相同，但應該說是有限程度的等精度。復現性條件下出現了某些條件的變化，導致測量結果分散性某種程度的擴大，但仍可以用實驗標準偏差來定量表述，也可稱之為等精度測量。參閱2.9。

　　3.3  測量不確定度的定義如何理解？
　　測量不確定度定義的英文為:Parameter,associated with the result of a measurement,that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand。一般譯為:與測量結果相聯系的參數，用來表征合理地賦予被測量之值的分散性。上述譯文把“associated with”譯為“相聯系”不太貼切，英文的含義是“與…一起”，而“相聯系”一詞在漢語中，特別是在科技文獻中，往往令人要問，如何聯系，函數形式如何？其實，在這里測量不確定度與測量結果之間的“聯系”，只不過是“在一起”，除此以外無其他含義。

　　當我們在重復性條件下，對一穩定的被測量X獨立進行了n次重復測量，在這一測量列中，通過n個結果按貝塞爾公式計算出的，第i次結果x_i的實驗標準差s(x_i)，與x_i之間有怎樣的聯系？這里的x_i雖指第i次測量結果，而其實際含義則為:任一次的測量結果。因此，s(x_i)=u(x_i)表明這個不確定度(分散性)是這個測量列中任意一次的結果的不確定度。當然，如果在相同的重復性條件下再測一次，得到的結果x_i的標準不確定度同樣也是s(x_i)。我們能看出這里的一次測量結果的標準不確定度u(x_i)與x_i之間有怎樣的聯系呢？沒有。

　　怎么叫合理？怎么是非合理？在《導則》中未予交代。有人說，這里“合理”一詞妙極，合理就是合理。沒有，也不必要有任何解釋。只要賦予被測量之值的分散性不能用不確定度來表征，則賦予被測量之值就不合理。如果是這樣，我們如何理解不確定度的概念呢？
    定義中所謂的合理，是指處于統計控制狀態下的測量。當測量是處于統計控制狀態下時，其結果的分散性才能用不確定度這一參數表征，否則不行。
　　國際上對實驗標準差的定義是表征結果分散性的，還有，1994年12月公布的國際標準ISO 5725—《測量方法與測量結果的準確度》其中對重復性標準差以及復現性標準差(s_r與s_R)，都是明確規定重復性條件下和復現性條件下，對同一被測量獨立測量若干次的測量列，按貝塞爾公式所得到的分散性用標準差定量地給出的值，ISO分別用了標準化的符號s_r與s_R以示區別。
　　所謂統計控制狀態的含義，在統計學中就是指隨機控制過程狀態。在計量學中，一般來說，可以具體化為:重復性條件和復現性條件可以保證下的狀態。
　　當我們把測量過程中所用的標準測量儀器，按證書所給的修正量或修正曲線，對其示值(某些情況下就是測量結果)進行修正后，由于修正值的不確定度導致的誤差，其期望是可以，而且往往只能，作為零來估計的，這就是一種統計控制狀態，因它處于隨機過程之中。

　　不確定度是否就是測量結果的可能誤差？答復是肯定的。不確定度的含義雖為賦予被測量之值的分散性，但是，分散性的形成:一是隨機效應；二是系統效應。系統效應導致的誤差分量其期望(指對那些已知系統誤差進行過修正后的)與隨機效應導致的誤差分量一樣，都是為零。因此，只要沒有遺漏重大的不確定度分量，最后給出的擴展不確定度，無論是U還是U_p，都是一種可能誤差(possible error)的量度。事實上，在計量學中，過去給測量不確定度曾經有過一個定義:由測量結果所給出的被測量估計值中，可能誤差的量度。這個定義雖已為1995年的《導則》放棄，但是，其概念與當前所采用的定義并不矛盾，可能誤差在大多數情況下，表達為一種誤差限，或最大允許誤差等。因此，我們在按檢定證書或某些儀器的技術規范中的這一指標，來估算其所導致的不確定度分量時，就有理由把它們作為U或U_p來對待。例如:證書上給出了最大允許誤差不超出±18μA，就可認為U₉₉=18μA。而其標準不確定度在正態分布的前提下可估算為U₉₉/3=18μA/3=6μA。
　　測量不確定度是否仍可理解為被測量真值所處范圍的量度？答案也是肯定的，JJF1001-1991中，曾對測量不確定度按當時國際上的意見定義為:表征被測量的真值所處量值范圍的評定。這一定義也為國際計量學界所放棄，原因是這兩個定義中均涉及到“真值”、“誤差”這樣的理論上的概念而不具有“可操作性”。雖然如此，其所表達的概念并未被國際計量學界所否定。德國于1996年3月所公布的標準DIN1319—3《單一被測量測量結果不確定度的估算》中，對測量不確定度的定義卻是采用了:和測量結果一起，用于說明被測量真值所處范圍的一個參數。

　　不確定度與測量結果有多大的聯系？
　　例如:1個三等砝碼，交給某個實驗室，按檢定規程的要求進行了測量，得到其質量為m₁。然后，把這個砝碼交給另一個實驗室，同樣按檢定規程進行測量，得到其質量為m₂，這兩個實驗室各自使用自己的二等標準砝碼與天平，m₁≠m₂是常見的。但是，這兩個測量結果的不確定度是十分接近的，都不超過檢定規程的三等砝碼的要求。因此，只要測量程序、條件相同，不同的測量結果可以有相同的不確定度。反之，如果測量程序、條件并不相同，雖然測量結果相同，也未必有相同的不確定度。從這個意義上來看，測量不確定度獨立于測量結果。
　　應該認為:測量不確定度主要決定于測量程序與條件，而測量結果應是這一測量程序與條件下的測量結果而非其他。其聯系僅此而已。
　　不確定度指測量結果的可疑程度，即對測量結果正確性的可疑程度。其值大則表示不可靠，其值較小，則表示較為可靠，其準確度較高。
　　測量不確定度無例外地只用正值表述。例如:擴展不確定度U₉₅=0.45 mA。如與測量結果用數學符號聯系起來，則另加正負號(±)。例如:電流I=(70.000±0.054)A。

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　　3.4  不確定度分為哪些類？
　　不確定度的定義與概念已如3.3所述，當不確定度除以真值(或測量結果)時，稱之為相對不確定度。這是個無量綱量，通常用百分數或10的負數冪表示(例如10^-6，10^-9)等，而其符號則加下標rel，例如:U_95rel。
　　不帶形容詞的不確定度指一般概念，當需要明確某一測量結果的某種不確定度時，要適當采用一個形容詞，常用的形容詞有:標準、擴展(展伸或范圍)。在這兩個形容詞前，還可再加“相對”。例如:相對擴展不確定度U_rel。
　　當不確定度是用標準偏差表述時，稱為標準不確定度。
　　當不確定度是采用統計方法(例如用2.12或3.1給出的計算式)得到時，稱A類評定，而得出的不確定度稱為A類標準不確定度。當用不同于統計方法的其他方法得到時，稱為B類評定，所得出的不確定度稱為B類標準不確定度。由各個不確定度的方差和協方差之和算出的標準不確定度，稱為合成標準不確定度，它是測量結果標準偏差的估計。

　　擴展不確定度則是合成標準不確定度乘一個包含因子(見3.5)之后擴大了兩倍或兩倍以上的不確定度，它給出的區間能包含被測量可能值的大部分(例如:95%，99%等)。但也可以不必給出其百分數。
　　不確定度的分類可用下圖表明:
    

　　上圖中所給出的各類不確定度均可對應地給出它們的相對不確定度，即再除以測量結果。
　　決不可以用隨機不確定度和系統不確定度這樣的概念和術語。因不確定度只是一個分散性區間，這個區間沒有什么隨機與系統性的問題，更不存在系統的分散性或系統的分散區間。如需要表明某不確定度是怎樣的原因所導致的，可以用隨機效應導致的不確定度或系統效應導致的不確定度，以避免概念上的混淆。必須注意，隨機效應導致的不確定度既可以是A類，也可以是B類，而系統效應導致的不確定度也不一定都是B類。

　　3.5  包含因子k的概念如何？用在不確定度評定中的什么場合？
　　包含因子又稱覆蓋因子，它等于擴展不確定度與合成標準不確定度u_c之比。由于擴展不確定度有U與U_p兩類(下標p為置信概率，U_p給出置信概率為p的置信區間半寬)。包含因子亦有k與k_p兩類，k與k_p在名稱上沒有區別，使用時，如需區別，必須給出符號。k一般為2，有時為3。而k_p則是在給定概率p時所要求的因子，對于被測量Y之估計值接近正態分布的情況下，k_p就是t分布給出的t值。在擴展不確定度U_p的計算中，有了p與自由度ν即可查表得到k_p，從而得到U_p。如只要求給出擴展不確定度U，則無需k_p而只用k即可。

　　3.6  自由度的含義如何？不確定度評定中起何作用？什么情況下可以不必進行自由度的估算？
　　自由度一詞在不同學科有不同定義，例如在運動學中，指物體活動空間是幾維。質點只能沿固定軌道進退為1維，在一個面上自由運動則是2維，在空間自由運動則是3維，分別稱為自由度等于1，2，3。剛體加上旋轉的自由，最大等于6。自由度從字面上看是指松動程度。計量學中，如一個被測量只測了一次，有一個結果，不存在選擇余地，自由度為零，但有了兩個測量結果，就多了一個選擇。不確定度的評定中，自由度用于表明所得到的標準偏差的可靠程度，它被定義為方差計算中和的項數減對和的限制數。按貝塞爾公式(見3.1)計算方差s²(q_i)時，∑符號后的項數等于n，因為重復了n次，被測量Q有n個結果，與其平均值之差就有n個，成為n項之和。但有一個限制，就是由于這n個殘差之和必為零，即∑(q_i-)=0，這算一個限制條件。自由度ν=n-1。
　　一般，我們可以認為自由度等于測量次數n減被測量的個數m，即ν=n-m。
　　自由度越大，這個標準差越可靠，自由度ν與這個標準差s的相對不確定度的平方成反比。
　　自由度只用于包含因子k_p的獲得，如果在擴展不確定度的評定中只要求U而不是U_p，則不必進行自由度的評定及有效自由度的計算。合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度ν_eff。

　　3.7  置信概率的含義如何？與置信區間有何關系？
　　按測量不確定度的定義，合理賦予被測量之值的分散區間是包括全部被測量的測量結果的，即測量結果100%存在于這一區間。這一分散區間的半寬一般用a表示。但是如只要求某個區間只包含其95%的賦予被測量之值，這個區間就稱為概率p=95%的置信區間，其半寬就是擴展不確定度U₉₅，如要求99%的概率，則為U₉₉。相應的概率稱為置信概率，有:
　　U₉₅<U₉₉<a
　　至于大多少，與賦予被測量之值的分布情況有關。

　　3.8  測量誤差的定義、分類以及使用時應注意哪些問題？
　　測量誤差(簡稱誤差)的定義從20世紀70年代以來沒有改變，定義為:測量結果減被測量的真值。但是，長期以來，國內外計量學界常錯誤地使用誤差一詞。從定義看，誤差與測量結果有關而與測量方法無關。不同的測量結果有不同誤差，相同測量結果有相同誤差，而不論測量結果是來自何種測量方法。合理賦予被測量之值，各有其誤差而并不存在一個共同的誤差。一個測量結果的誤差，如不是正值就是負值，取決于這個結果是大于還是小于真值。因此，誤差決不會帶有正負號(±)。
　　測量結果的誤差往往由若干分量組成，這些分量按其特性分成隨機誤差與系統誤差兩大類，而測量結果的誤差無例外地是全部分量的代數和。即，對誤差的合成只有代數和這一種方式。
　　隨機誤差的定義在1993年以來作了原則性的改變，它被定義為:測量結果減重復性條件對同一量進行無限多次測量結果的平均值。測量結果是真值、系統誤差與隨機誤差這三者的代數和，而無限多次結果的平均值則只是真值與系統誤差的代數和。它們的差則是這一測量結果的隨機誤差分量。
　　注意:不再有偶然誤差這一術語，也不再有另外的定義。

　　系統誤差也有了原則性的改變，它被定義為:重復性條件下對被測量的無限多次測量結果的算術平均值減被測量的真值。由于只能有限次數的重復，而真值只能用給定真值代替，因此，所得到的系統誤差只是個估計值，并具有一定的不確定度。這個不確定度也就是修正值的不確定度，與其他來源的不確定度分量一樣進入合成標準不確定度，僅此而已。而不是把系統誤差分成為已知系統誤差和未知系統誤差，也不能說未知系統誤差按隨機誤差處理。因為這里所謂的未知系統誤差并非誤差分量而是不確定度，而且，所謂按隨機誤差處理，概念是不清的。
　　至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等術語，它們前面帶有正負號(±)，是一種可能誤差的分散區間，而并非一個測量結果的誤差。
　　過去所謂的誤差傳播定律，所傳播者并非誤差而是不確定度?，F在已改稱為不確定度傳播定律。
　　應該注意，誤差一詞只能按其定義使用。今后不應用它來定量表明測量結果的可靠程度。

　　3.9  測量誤差與測量不確定度之間存在哪些主要不同之處？
　　下表給出它們之間的主要不同之處:

　　3.10  什么叫變量之間的相關？如何定量表達？不確定度評定中如何給出其估計值，什么情況下發生相關？有沒有B類估算？
　　一切被測量的估計值，由于諸多不穩定因素的影響，它們不是固定的，因而稱之為變量。也就是說量的測量結果都是變量。
　　當某些被測量的估計值有相同的不確定度來源，特別是受相同的系統效應的影響，例如用了同一個標準器，則這樣的變量間存在相關。均可能偏大或均可能偏小，稱為正相關；一個偏大而另一個偏小，稱為負相關。這種相關性導致的方差稱為協方差，進入合成方差的計算，從而擴大了所得的合成方差(合成方差是合成標準差的二次方)。
　　協方差的評定既有A類評定也有B類評定。往往也可通過測量的操作程序來避免相關的產生，即使其協方差小到可忽略不計，例如通過改變所用的標準器等。