測量不確定度理解與應用(六)

關于測量不確定度的基本概念（續）

講授人：中國計量科學研究院研究員 倪育才

  　　測量結果的不確定度的定義為:
    　　表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯系的參數。
    　　注:1.此參數可以是諸如標準偏差或其倍數，或說明了置信水準的區間的半寬度。
　　2.測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結果的統計分布估算，并用實驗標準偏差表征。另一些分量則可用基于經驗或其他信息的假定概率分布估算，也可用標準偏差表征。
　　3.測量結果應理解為被測量之值的最佳估計，而所有的不確定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統效應引起的(如，與修正值和參考測量標準有關的)分量。
　　首先要注意定義中“被測量之值”這一說法的含義。一般說來，“被測量之值”可以理解為被測量的真值，但在這里不能直接將“被測量之值”理解為“真值”，因為“真值的分散性”的說法無法理解。由于JJF1001-1998中給出“測量結果”的定義為:由測量所得到的賦予被測量的值，將兩者進行比較可以發現這里的“被測量之值”似乎應該可以理解為“測量結果”，但它與我們通過測量所得到的“測量結果”仍有差別。在對被測量進行測量時，最后給出一個測量結果，它是被測量的最佳估計值(可能是單次測量的結果，也可能是重復性條件下多次測量的平均值)。而這里“被測量之值”應理解為許多個測量結果，其中不僅包括通過測量得到的測量結果，還應包括測量中沒有得到但又是可能出現的測量結果。例如，用一臺電壓表測量某一電壓，且電壓表讀數不加修正值，若對于該測量點電壓表的最大允許誤差為±1V，用該電壓表進行了20次重復測量，則該20個讀數的平均值就是測量結果，還可以由它們得到測量結果的分散性。但“被測量之值”的分散性就不同了，它除了包括測量結果的分散性外，還應包括在受控范圍內改變測量條件(例如溫度)所可能得到的測量結果，當電壓表的示值誤差在最大允許誤差范圍內變化時所可能得到的測量結果，以及所有系統效應對測量結果的影響。由于后者不可能在“測量結果的分散性”中出現，因此“被測量之值的分散性”應比“測量結果的分散性”大，也包含更多的內容。這就是在定義的注3中所說的在分散性中應包括那些由系統效應所引起的不確定度分量，而系統效應引入的不確定度分量在測量結果的分散性中并沒有反映出來。
　　根據定義，測量不確定度表示被測量之值的分散性，因此不確定度表示一個區間，即被測量之值可能的分布區間。這是測量不確定度和測量誤差的最根本的區別，測量誤差是一個差值，而測量不確定度是一個區間。在數軸上，誤差表示為一個“點”，而不確定度則表示為一個“區間”。
    　測量不確定度是測量者合理賦予給測量結果的，因此測量不確定度將或多或少與評定者有關，例如與評定者的經驗、知識范圍、認識水平等有關。因此測量不確定度評定將或多或少帶有一些主觀色彩。定義中的“合理”是指應該考慮各種因素對測量結果的影響所作的修正，特別是測量應處于統計控制狀態下，即處于隨機控制過程中。也就是說測量應在重復性條件或復現性條件下進行。
   　為了表征這種分散性，測量不確定度可以用標準偏差，或標準偏差的倍數，或說明了置信水準區間的半寬度來表示。
    　當測量不確定度用標準偏差σ表示時，稱為標準不確定度，統一規定用小寫拉丁字母“u”表示，這是測量不確定度的第一種表示方式。但由于標準偏差所對應的置信水準(也稱為置信概率)通常還不夠高，在正態分布情況下僅為68.27%，因此還規定測量不確定度也可以用第二種方式來表示，即可以用標準偏差的倍數kσ來表示。這種不確定度稱為擴展不確定度，統一規定用大寫拉丁字母U表示。于是可得標準不確定度和擴展不確定度之間的關系:
　    U=kσ=ku
    　式中k為包含因子。
   　　擴展不確定度U表示具有較大置信水準區間的半寬度。包含因子有時也寫成k_p的形式，它與合成標準不確定度u_c(y)相乘后，得到對應于置信水準為p的擴展不確定度U_p=k_puc(y)。
    　在不確定度評定中，有關各種不確定度的符號均是統一規定的，為避免他人的誤解，一般不要自行隨便更改。
   　在實際使用中，往往希望知道測量結果的置信區間，因此還規定測量不確定度也可以用第三種表示方式，即說明了置信水準的區間的半寬度a來表示。實際上它也是一種擴展不確定度，當規定的置信水準為p時，擴展不確定度可以用符號U_p表示。
   　　測量不確定度的第二種和第三種表示方式給出的實際上都是擴展不確定度。當已知包含因子k時，擴展不確定度U是從其中包含多少個(k個，k即為包含因子)標準不確定度u的角度出發所描述的擴展不確定度。而當p已知時，擴展不確定度U_p則是從該區間所對應的置信水準p的角度出發來描述的擴展不確定度。對于前者，已知k而不知道p，后者則正好相反，已知p而不知道k。兩者各自分別從不同的角度出發來描述擴展不確定度，因此包含因子k與置信水準p之間應該存在某種函數關系，但它們之間的關系與被測量的概率密度分布有關。也就是說，只有在知道被測量分布的情況下，才可以由k確定p或由p確定k。而在測量不確定度評定中，經常會遇到已知置信水準p而需要確定包含因子k的情況，這就是為什么在測量不確定度評定中經常需要考慮各輸入量以及被測量分布的原因。而在過去的誤差評定中一般不討論分布問題。
    　JJF1059-1999規定，當置信水準p為0.99和0.95時，U_p可分別簡單地以U₉₉和U₉₅表示。
    　誤差可以用絕對誤差和相對誤差兩種形式來表示，不確定度也同樣可以有絕對不確定度和相對不確定度兩種形式。絕對形式表示的不確定度與被測量有相同的量綱。相對形式表示的不確定度，其量綱為1，或稱為無量綱。絕對不確定度常簡稱為不確定度，而相對不確定度則往往在其不確定度符號“U”或“u”上加上腳標“rel”以示區別。被測量x的標準不確定度u(x)和相對標準不確定度U_rel(x)之間的關系為:
    　
    　擴展不確定度也同樣可以有絕對和相對兩種形式，絕對擴展不確定度U(x)和相對擴展不確定度Urel(x)之間也有同樣關系:
    　
    　在計算相對不確定度時，分母中的x應取其真值。由于真值無法知道，實際上用的是約定真值。而在實際工作中一般常以該量的最佳估計值，即測量結果來代替。
    　　若隨機變量x的值有可能為零，則不能采用相對誤差或相對不確定度的表示形式。例如，在對測量儀器進行校準時，被測量是儀器的示值誤差。在表示所測得的示值誤差的不確定度時，就不應該用相對不確定度來表示，因為測量儀器的示值誤差有可能為零。
    　由于測量結果會受許多因素的影響，因此通常不確定度由多個分量組成。評定方法分為A、B兩類。測量不確定度的A類評定是指用對觀測列進行統計分析的方法進行的評定，其標準不確定度用實驗標準差表征；而測量不確定度的B類評定則是指用不同于對觀測列進行統計分析的方法進行的評定。因此可以說所有與A類評定不同的其他評定方法均稱為B類評定，它可以由根據經驗或其他信息的假定概率分布估算其不確定度，也以估計的標準偏差表征。所有各不確定度分量的合成稱為合成標準不確定度，規定以符號u_c表示，它是測量結果的標準偏差的估計值。
    　由于無論A類評定或B類評定，它們的標準不確定度均以標準偏差表示，因此兩種評定方法得到的不確定度實質上并無區別，只是評定方法不同而已。在對各不確定度分量進行合成得到合成標準不確定度時，兩者的合成方法也無區別。因此在進行不確定度評定時，過分認真地討論每一個不確定度分量究竟屬于A類評定或是B類評定是沒有必要的。
    　不少人習慣上將由A類評定和B類評定得到的不確定度分別方便地稱為A類不確定度和B類不確定度。這一說法也未嘗不可，但不能由此而得到一個不恰當的結論:不確定度分為A類不確定度和B類不確定度兩類。對不確定度本身并不分類，每一個分量的標準不確定度都要用標準偏差表示，而所謂的A類和B類僅是為了敘述方便起見而對其按評定方法進行的分類，而不是對不確定度本身的分類。
    　根據定義，測量不確定度是與測量結果相聯系的參數，意指測量不確定度是一個與測量結果“在一起”的參數，在測量結果的完整表述中應該包括測量不確定度。